数列通项公式的十种求法

一、公式法

例1 已知数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png满足4c1bdd61d30167443f902aa50fda3ae9.png，4178829a8c36cd8fceb2b713b302671a.png，求数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png的通项公式。

解：4c1bdd61d30167443f902aa50fda3ae9.png两边除以22b0c363a8d77a3b783519d52f3092bf.png，得0d3deb11e2bd73fa59793ca5455a3e7c.png，则8b0ec9b04daa600d68e8494d1b815c3c.png，故数列32049bad110e637b17cc2fe06c9f0a7a.png是以8e9673bd0b9196e020ebf9dfa2588a63.png为首项，以bd8eacd6ef8c460fea72f998c06d4e7e.png为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得ab340c753574adbc9cb1d2083d5de8.png，所以数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png的通项公式为d05d183dfddab154b516170f704a5d.png。

评注：本题解题的关键是把递推关系式4c1bdd61d30167443f902aa50fda3ae9.png转化为8b0ec9b04daa600d68e8494d1b815c3c.png，说明数列32049bad110e637b17cc2fe06c9f0a7a.png是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出ab340c753574adbc9cb1d2083d5de8.png，进而求出数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png的通项公式。

二、累加法

例2 已知数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png满足9f2eb09ccb394d7746ab83aa5ec55b8a.png，求数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png的通项公式。

解：由2c34fd302a39d92a1d92dad152931a91.png得787d9e002ebf1c3f95a07a07349f4819.png则

3248c90465cfd47cfb5a3c905866f356.png

所以数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png的通项公式为aba3ed49ae19abf3ac985c2b9a6678.png。

评注：本题解题的关键是把递推关系式2c34fd302a39d92a1d92dad152931a91.png转化为787d9e002ebf1c3f95a07a07349f4819.png，进而求出8e0edef4a3da0eb0df137442b17f173a.png，即得数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png的通项公式。

例3 已知数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png满足c6df0849104b078f1036d9ae54a53f3d.png，求数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png的通项公式。

解：由4a1487beefa033242c35d714ee1edbe9.png得744313d2f66e515dc2bc65c90b48b1.png则c4039c9518e1707cfa36caf34a17d72d.png

所以236e097ffb7b031729d038fd6921c2.png

评注：本题解题的关键是把递推关系式4a1487beefa033242c35d714ee1edbe9.png转化为744313d2f66e515dc2bc65c90b48b1.png，进而求出a24aeb485a53ba23516d493b7b04d0a6.png，即得数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png的通项公式。

例4已知数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png满足c1d00c608a517da3cdae396aac205125.png，求数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png的通项公式。

解：6e3ea536b3cc9dfb52f71ab17ca141.png两边除以5bfc070e0057d69ba7a19285a01ada9e.png，得1dbc0d5f3c8199d4d2398a52d7db57a6.png，

则ab54c4b90c3215a1e0f6fdbf835a679c.png，故

6f3400540ec38e79aa3c1b6ff154880a.png

因此413177d358c8571d611d244ca0c8f905.png，

则3ca18fe0c9b5c669166079edd9d394de.png

评注：本题解题的关键是把递推关系式6e3ea536b3cc9dfb52f71ab17ca141.png转化为ab54c4b90c3215a1e0f6fdbf835a679c.png，进而求出62b194c558b02d988af1cafdf39e1d.png，即得数列fd416917ae0f9165b01bb774d4210266.png的通项公式，最后再求数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png的通项公式。

三、累乘法

例5 已知数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png满足630b82a2968310dca92e36d39107227e.png，求数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png的通项公式。

解：因为630b82a2968310dca92e36d39107227e.png，所以847721b88b1fff36d0e0bf0905124dd9.png，则2808d15f2a20d1c107b09393b39de40c.png，故3e924111493d37e40daec0b41f4211d6.png

所以数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png的通项公式为3474e4db56caf8fe99a0623f8678da74.png

评注：本题解题的关键是把递推关系1c2f9369a0bf25b95de910d6f78e912c.png转化为2808d15f2a20d1c107b09393b39de40c.png，进而求出2879ab23140f0ee43ef6e1c70fe05d4f.png，即得数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png的通项公式。

例6 （2004年全国I第15题，原题是填空题）已知数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png满足ba4e78ca5f1311459d2a2eae6612b4.png，求3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png的通项公式。

解：因为4e2810a4df8096d04a11a8e02cb108bf.png ①

所以1d2fde1149911eebd154303633ddf0a5.png ②

用②式－①式得c7d9491a5193eb08e054418fe616f8fc.png

则d2a6e2d9b4a0f00408edeaaa84937fae.png

故b1be9d6759443f8147aa61cd863d96f0.png

所以5a3e63f12a953bc4bc628c93bae46783.pngd41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png ③

由4e2810a4df8096d04a11a8e02cb108bf.png，136ff7219e593a7c76dd3baccaad90.png，则25fd7d9b553e6230fa6ee5af2be2420a.png，又知ce7bccd95db37776721a69c77d633ac3.png，则7ffcdda11bda1e9dd0d12548c9e7c526.png，代入③得93bfd42d2d61b341aa1acd4cfb44815d.png。

所以，3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png的通项公式为a139083e8a53a955b5ea6a60d0af0e4a.png

评注：本题解题的关键是把递推关系式d2a6e2d9b4a0f00408edeaaa84937fae.png转化为b1be9d6759443f8147aa61cd863d96f0.png，进而求出cd24148f6b2322a6ad57333fb33902.png，从而可得当4cc15394f26652a694a9c9bd0d317e9c.png的表达式，最后再求出数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png的通项公式。

四、待定系数法

例7 已知数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png满足b624c4454d05b2c9fab41e6ea68f22cb.png，求数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的通项公式。

解：设67e593726eb51bede9cf29ad74f5e691.png ④

将7fdb795bf0a02d73f0d61ce9a654e7.png代入④式，得0319309ee391a3d2ea7a231ab13a7737.png，等式两边消去31f9fbf19398f0cb27d2eed6b52d7c33.png，得a0db5a2af56561507acb4cdc9604325c.png，两边除以4291213e78020775508ff23c36397669.png，得2939e401d56c22b908373d4e043e7b4e.png代入④式得98d85292fa15e50bc9276cab63ea4cb8.png ⑤

由e8abdc9550be00c2c8500be66e1a2b.png及⑤式得713331de1e8f11137f8077224d98a31e.png，则e2ac61341771b4135030595e5b36bf38.png，则数列33d045132066b0e438fde41ca7dfeffe.png是以442bd283e32fb220dde43734d999ef87.png为首项，以2为公比的等比数列，则59dc21281f432bd27ac54cd21dc33716.png，故e901637f9841b425a67f57cbdb5677d3.png。

评注：本题解题的关键是把递推关系式7fdb795bf0a02d73f0d61ce9a654e7.png转化为98d85292fa15e50bc9276cab63ea4cb8.png，从而可知数列33d045132066b0e438fde41ca7dfeffe.png是等比数列，进而求出数列33d045132066b0e438fde41ca7dfeffe.png的通项公式，最后再求出数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png的通项公式。

例8 已知数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png满足7bbb875bfa4fe603d2bc454f019967d7.png，求数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png的通项公式。

解：设9ee16c7256d9d5e6e172b9911f20214c.png ⑥

将e5a0a2095c28dcb2bda23c2141fa92.png代入⑥式，得

a046656f3841bb35b7983b0e93baf4fa.png

整理得516dee31acc0e9d295b7d93da27bfef2.png。

令8caa6d6a9f15e20bd4c12a0a00929983.png，则78700f0dc0bc22a5321a0f8a478c2f58.png，代入⑥式得

e1819c9d432ee8d0dfbd0bc49c9a2608.png ⑦

由3bf00ee3e33cb2db1ff8cb7cf9a7cbe7.png及⑦式，

得267fb479c3f1efd525eb87d166248b.png，则40df1393092ae93b68d4f8266711117a.png，

故数列361790ef4f9841ff099cf55e0e3fe732.png是以781886fa9fb2592d220e00dce54ae9.png为首项，以3为公比的等比数列，因此25a834c5ec615a020752f36c90f0028e.png，则2d19eee97f6cbdec85543aac44efad82.png。

评注：本题解题的关键是把递推关系式e5a0a2095c28dcb2bda23c2141fa92.png转化为e1819c9d432ee8d0dfbd0bc49c9a2608.png，从而可知数列361790ef4f9841ff099cf55e0e3fe732.png是等比数列，进而求出数列361790ef4f9841ff099cf55e0e3fe732.png的通项公式，最后再求数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png的通项公式。

例9 已知数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png满足468e706b095b6fad32478826c7058ba0.png，求数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png的通项公式。

解：设9546be7bdd59870844c4dd9d992d5f99.png ⑧

将669e30ca0f3947862d9ce6e46e28e9d3.png代入⑧式，得

ccb56ce281ccf1c562deac0380ac287a.png，则

be0bdc3e963ce6e67cbe48e6c77a29a5.png

等式两边消去31f9fbf19398f0cb27d2eed6b52d7c33.png，得c6706b97e32c9d1e65911a3b6fcdebf6.png，

解方程组0db2d43783376e30139f1194b35a6a31.png，则1cf4051941ce0c7b1ad538eb5a4186b9.png，代入⑧式，得

ab83d5d462f130a95d22b7f3748833f5.png ⑨

由c9e81f403dba7413f088837ed045de23.png及⑨式，得04d5aff985a12a1ab5f8eb4fdf0de4f0.png

则bca4493e531c76c76c0e7005e2feeade.png，故数列cb9aa232db5d37cce4ff57e7cacaa54a.png为以eddb9bae590dde836aa0ca82020a6ca7.png为首项，以2为公比的等比数列，因此d398bc8a8376ee9850c845e268333511.png，则b00520b6becdcf88e8628c5263136a78.png。

评注：本题解题的关键是把递推关系式669e30ca0f3947862d9ce6e46e28e9d3.png转化为ab83d5d462f130a95d22b7f3748833f5.png，从而可知数列cb9aa232db5d37cce4ff57e7cacaa54a.png是等比数列，进而求出数列cb9aa232db5d37cce4ff57e7cacaa54a.png的通项公式，最后再求出数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png的通项公式。

五、对数变换法

例10 已知数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png满足3ac96b21d70c0c858ae5f6fc6e54a3.png，e77576a393234b4c884e052b44efce.png，求数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png的通项公式。

解：因为5a05427432b3943e1eee5c90a4f39f60.png，所以d2a480b35d8a614d1a5caf58ba7d09a8.png。在3ac96b21d70c0c858ae5f6fc6e54a3.png式两边取常用对数得bc20c753a11397df0d825ddf1fef3462.png ⑩

设80103aa9db57dba27567937a3cbd1441.png 53a42913e0f30bb7d154323c074b27.png

将⑩式代入53a42913e0f30bb7d154323c074b27.png式，得77e0cf6ba970380583e1ada901f3af95.png，两边消去f3b021f5d3ce0c229ca33617fd7b91.png并整理，得8e8d1f5542c39d72b82739b0e9a4023a.png，则

126a349a3e3dc0190aa5652ee4af.png，故086ad6713614b52126d1da2845db378e.png

代入53a42913e0f30bb7d154323c074b27.png式，得79f23b67aa85758e6f0567ef84816f.png dfbb1054f49d3a23c9eadd982b70a4.png

由fbc7cc082845dea296bc3942c63662.png及dfbb1054f49d3a23c9eadd982b70a4.png式，

得e371ff04a4a44cff56f7586ad4da8f93.png，

则ef399887866a5c1d83788ffa902f39.png，

所以数列4e19e3e03d7b388720b88790a0bea37c.png是以15f61cb324da4cf430d5de81fbd43a.png为首项，以5为公比的等比数列，则e1f4f5d22a262a665a8db04db9113a.png，因此ee455a0e9df292bfbaeb16eaa7c3d5a4.png

则4053d0eb08a7ec6a68af0067b27d5258.png。

评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式3ac96b21d70c0c858ae5f6fc6e54a3.png转化为79f23b67aa85758e6f0567ef84816f.png，从而可知数列4e19e3e03d7b388720b88790a0bea37c.png是等比数列，进而求出数列4e19e3e03d7b388720b88790a0bea37c.png的通项公式，最后再求出数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png的通项公式。

六、迭代法

例11 已知数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png满足f7f4356c558f6e49752d030b171b2221.png，求数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png的通项公式。

解：因为d1ad24ad7b3919c326b0c07d24349597.png，所以228b4abe9ac0847583a9adf07340e0a1.png

2bee98f4b9a43321a74c7eb0dbe27eaf.png

又8e7441016620a66104b1feb9858e5ef6.png，所以数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png的通项公式为ed52ac208f5ce5204d7f625b90369d.png。

评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式d1ad24ad7b3919c326b0c07d24349597.png两边取常用对数得3b6ce57506c576922c724eb37755fbd6.png，即5ef1eda56c431df68b1465bc54ca426a.png，再由累乘法可推知b67a5b385174ac8a27f22920020090d1.png，从而92e0756a17e417a6baa4905063b7aa62.png。

七、数学归纳法

例12 已知数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png满足02b67349cf78af2ded4f582c358590ac.png，求数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png的通项公式。

解：由73766ab04954e7e8a93717621ad390.png及d320d18f809d4a1e5437bd4251b5a885.png，得

7411a28301617e233ee9d50f9f520f92.png

由此可猜测cdd122b49130b9f9330e24362dd468.png，往下用数学归纳法证明这个结论。

（1）当6d24e2bc97c5e4283dd8e34674afe7ea.png时，474aeaee636df148a1ff27d9a7de872a.png，所以等式成立。

（2）假设当84397256ec1d228f288198d1e5ae5959.png时等式成立，即4be7368bdb56b93be1bb4a97dd767480.png，则当b7eb27d0b2cabbf70084c60f4ce9fc8a.png时，

a278f930ecc3ca0138a9fd12754a1f.png

e62238d21d4840f6816c99cb9e4cdd.png

由此可知，当b7eb27d0b2cabbf70084c60f4ce9fc8a.png时等式也成立。

根据（1），（2）可知，等式对任何f6e696c1952cff44affab43c8beaec2f.png都成立。

评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。

八、换元法

例13 已知数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png满足95c8825c4e943d6c458094d40bd84b.png，求数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png的通项公式。

解：令216b4660b6ba7623cd848244b019e99a.png，则1498b5bb1e701d4d27deb0938f03bfbc.png

故46d27b9677a0ecd157b32e8aa7d945eb.png，代入82c35386a72db9f3ff65d5d2772f3f.png得

26e7bb5fc09fd73d94f03e4f27d0eddc.png

即7cc72f3d21bea1245fb9ea77c9b5efe2.png

因为7a69a15da1ff830219443b0c5cf3b0d7.png，故b4010d1d99b6b1af9499f1472d3040a7.png

则ff831a888a4178b4b44e39d8f7213866.png，即b6b445e43a0be455b15c86bb5412039f.png，

可化为a338c08ba46de6aa2df705d29f8b87.png，

所以49a323274f7e830e0c07997bd37c6325.png是以d1acdc2d3097a83507b4032077016c78.png为首项，以93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png为公比的等比数列，因此983aac007e25bc837c0a986b834a0d9d.png，则c9708795c521e4ae3eeaeab5005738a2.png，即50cacfb04b7a78f6874b1d7537e50ba4.png，得

143f5102282db6716fc25f834e163731.png。

评注：本题解题的关键是通过将df5d534514920252af43119763ec1693.png的换元为c9d72c24c8835176f6f1a0ee2a14167a.png，使得所给递推关系式转化b6b445e43a0be455b15c86bb5412039f.png形式，从而可知数列49a323274f7e830e0c07997bd37c6325.png为等比数列，进而求出数列49a323274f7e830e0c07997bd37c6325.png的通项公式，最后再求出数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png的通项公式。

九、不动点法

例14 已知数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png满足fc56062bd3614c8f3af65e566cb9067e.png，求数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png的通项公式。

解：令14a6133f6c42f36e0c08f3e2ca40f203.png，得a4e2fcfcd6d88757786a4d8ae93bcb.png，则079b111df0e98d19953ced0da107f1f1.png是函数a97cc58c8dd3fec816bf12fe4db7e0e0.png的两个不动点。因为

0d500a1ee557563d92085e320c74ee47.png。所以数列df998d7f80273b6e1ad211ca80ca9143.png是以eed8622e0bc9552ee47393b3760db2ca.png为首项，以a1913029270d7c914d7c933a32901e95.png为公比的等比数列，故cb134733209531714c2b3fd32108f950.png，则03204585d9e5559ca5ba667457cf21d9.png。

评注：本题解题的关键是先求出函数a97cc58c8dd3fec816bf12fe4db7e0e0.png的不动点，即方程14a6133f6c42f36e0c08f3e2ca40f203.png的两个根079b111df0e98d19953ced0da107f1f1.png，进而可推出739a68d12885cc3c76730a4176e69bf3.png，从而可知数列df998d7f80273b6e1ad211ca80ca9143.png为等比数列，再求出数列df998d7f80273b6e1ad211ca80ca9143.png的通项公式，最后求出数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png的通项公式。

例15 已知数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png满足ff3f812c1e8b0469f7ce4f938127661a.png，求数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png的通项公式。

解：令e696580adcc099d62134a727c42f36fd.png，得342a9e249d25a0a5d2c6b860badd0947.png，则a255512f9d61a6777bd5a304235bd26d.png是函数1a435ce36687f9b23104414ed33c.png的不动点。

因为bda08ba8d8ea9d35943ed26fdd18a978.png，所以

143f5102282db6716fc25f834e163731.png。

评注：本题解题的关键是通过将df5d534514920252af43119763ec1693.png的换元为c9d72c24c8835176f6f1a0ee2a14167a.png，使得所给递推关系式转化b6b445e43a0be455b15c86bb5412039f.png形式，从而可知数列49a323274f7e830e0c07997bd37c6325.png为等比数列，进而求出数列49a323274f7e830e0c07997bd37c6325.png的通项公式，最后再求出数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png的通项公式。

九、不动点法

例14 已知数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png满足fc56062bd3614c8f3af65e566cb9067e.png，求数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png的通项公式。

解：令14a6133f6c42f36e0c08f3e2ca40f203.png，得a4e2fcfcd6d88757786a4d8ae93bcb.png，则079b111df0e98d19953ced0da107f1f1.png是函数a97cc58c8dd3fec816bf12fe4db7e0e0.png的两个不动点。因为

0d500a1ee557563d92085e320c74ee47.png。所以数列df998d7f80273b6e1ad211ca80ca9143.png是以eed8622e0bc9552ee47393b3760db2ca.png为首项，以a1913029270d7c914d7c933a32901e95.png为公比的等比数列，故cb134733209531714c2b3fd32108f950.png，则03204585d9e5559ca5ba667457cf21d9.png。

评注：本题解题的关键是先求出函数a97cc58c8dd3fec816bf12fe4db7e0e0.png的不动点，即方程14a6133f6c42f36e0c08f3e2ca40f203.png的两个根079b111df0e98d19953ced0da107f1f1.png，进而可推出739a68d12885cc3c76730a4176e69bf3.png，从而可知数列df998d7f80273b6e1ad211ca80ca9143.png为等比数列，再求出数列df998d7f80273b6e1ad211ca80ca9143.png的通项公式，最后求出数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png的通项公式。

例15 已知数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png满足ff3f812c1e8b0469f7ce4f938127661a.png，求数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png的通项公式。

解：令e696580adcc099d62134a727c42f36fd.png，得342a9e249d25a0a5d2c6b860badd0947.png，则a255512f9d61a6777bd5a304235bd26d.png是函数1a435ce36687f9b23104414ed33c.png的不动点。

因为bda08ba8d8ea9d35943ed26fdd18a978.png，所以